弧角天星运算学：一五元素公式

发布日期：2025-06-24 01:45    点击次数：95

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仰望华夏星空，探究天人之际，我是双鱼戏水。上一期内容讲解了球面三角中“角的余弦公式”，这一期，我们一起来学习一下球面三角中的“一五元素公式”。

边角正余弦公式，是五联公式之一，也叫一五元素公式，即：

一边的正弦与其邻角余弦的乘积，等于该角另一邻边的正弦与第三边余弦的乘积，减去这另一邻边的余弦与第三边正弦及它们夹角余弦的连乘积。

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有以下6个表达式：

sina·cosC=sinb·cosc-cosb·sinc·cosA

sina·cosB=sinc·cosb-cosc·sinb·cosA

sinb·cosA= sinc·cosa-cosc·sina·cosB

sinb·cosC=sina·cosc-cosa·sinc·cosB

sinc·cosA=sinb·cosa-cosb·sina ·cosC

sinc·cosB=sina·cosb-cosa·sinb· cosC

以 sina cosC=sinb cosc-cosb sinc cosA 为例，进行证明:

按边的余弦公式有:

cosc =cosa·cosb+ sina·sinb·cosC

将代cosa=cosb·cosc+sinb·sinc·cosA入上式得:

cosc=(cosb·cosc+sinb·sinc·cosA) cosb+sina·sinb·cosC

= cos²b·cosc+sinb·cosb·sinc·cosA + sina·sinb·cosC

∴cosc-cos²b·cosc= sinb·sinc·cosb·cosA + sina·sinb·cosC

∴cosc(1-cos²b)= sinb·sinc·cosb·cosA + sina·sinb·cosC

∴cosc·sin²b=sinb·sinc·cosb·cosA + sina·sinb·cosC

左右同时消去sinb得;

cosc·sinb= sinc·cosb·cosA + sina·cosC

∴ sina cosC=sinb cosc - cosb sinc cosA

同理可证其余五个边角正余弦公式亦成立。

边角正余弦公式，是表示球面三角形的三个边和两个角之间的关系。

（双鱼戏水）

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